博弈论第4讲「足球比赛与商业合作之最佳对策」
2018-11-19 13:31:00
作者:柴可夫斯基
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图中的4代表足球射进去的概率 U1(L , Ɩ )=4 向左射门,向左扑救,进去的概率为40%,使用第三讲同样的方式在平面直角坐标系中绘制图像。
足球射门的博弈论最佳策略在上图中的交点即是著名的「纳什均衡点」,在此处,射门球员与守门员参与人们都采用了自己的最优反应。
博弈论第4讲「足球比赛与商业合作之最佳对策」
Best responses in soccer and businesspartnerships(译:足球和商业伙伴关系的最佳回应)
图 04-01
图中的4代表足球射进去的概率 U1(L , Ɩ )=4 向左射门,向左扑救,进去的概率为40%,使用第三讲同样的方式在平面直角坐标系中绘制图像。
图 04-02
门将右扑救射手左射门仍有 90%的入射率,考虑10%的射飞;
对图形的分析,当守门员向有扑救的概率小于 1/2 时,BR 为向右射门,在上面的图 形中可以看出从中路射门永远都不是 BR。
针对彩色线条的结论:不要选择任何信念下都非最优反应的策略,即蓝色线条,在 任何区间内都不是最优反应。
PS:此模型忽略右脚习惯
力量提高带来精准性的降低,向中央射门反倒成为最优选择。
图 04-03
大力射门出现的概率变化 8-3;3-8;7-7
如虚线位置中间三角形区域对应的 X 轴区间中(即两个橘黄点间的范围)射为最优 反应
实际上就是用 VNM效用函数进行比较
预期收益,此案例中,在参与人 i 持有信念 p 的情况下,他选择左路攻门的预期收益等于,门将扑向左路的概率乘以两人都选择左路下,参与人 i 的收益,在加上门将扑向右路的概率乘以门将扑向右路参与人 i 左路进攻时,参与人 i 的收益。
合伙人博弈:
两个参与人都是公司股东,各持有公司50%的股份,供应合伙关系; 每个股东要选择对公司投入精力,以“小时”表示,策略集合 Si=[0,4],即可选择 0到4间任意实数“小时”的投入,这是一个连续区间,不是同于选数游戏中的只 能选整数。
利润按以下表达式:
b协同程度
参与人 1 的收益
参与人 1 收益是参与人 2 付出的函数,求最值,求S1的导数令其为0
由①得
在s2下参与人 i 的最优反应
同理可得:
图 04-04
图 04-05
同理剔除参与人 2 的非最优反应,剔除区域如图 04-06。
图 04-06
取两个剔除区域的交集,剩下就只有中间的一小块区域
图 04-07
将这块小区域进行放大,如图 04-08
图 04-08
新生成的图像除了点坐标不同外和初始图像完全一样,再次剔除非最优反应,迭代剔除最终将归为一点。
联立方程,求交点
足球射门的博弈论最佳策略在上图中的交点即是著名的「纳什均衡点」,在此处,射门球员与守门员参与人们都采用了自己的最优反应。
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